GEOMETRÍA
1. El triángulo
1.1. Propiedades y tipos de triángulos.
-Un triángulo es un polígono con tres lados.
Propiedades de los triángulos.
Propiedades de los triángulos.
- Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
- El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes
1.2. Rectas y puntos notables en el triángulo.
-Incentro:
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
-Baricentro:
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.
-Circuncentro:
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.
-Ortocentro:
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.
1.3 El teorema de Pitágoras.
En todo triangulo rectángulo que se encuentra en un plano, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Algebraicamente, si a y b son longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y c es la longitud de su hipotenusa, entonces se cumple:
1.3.1 Demostración gráfica.
Ahora os pondré un ejemplo del teorema de pitágoras gráficamente.
1.3.2 Demostración en 3D.
1.4 ¿Cómo calcular la altura de un árbol?
2.Lugares geométricos.
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
2.2 La mediatriz y la bisectriz.
- Mediatriz=Recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio.
-Bisectriz=Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales.
2.3 Las cónicas.
2.3.1 ¿Qué es una cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas. Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
2.3.2 La circunferencia.
Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.
2.3.3 La elipse.
Figura geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un círculo achatado.
- Obtención de un cono.
En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.
- Método del jardinero.
Esta construcción se basa en una técnica sintética mediante la cual se toma un hilo que queda fijado por sus extremos en ambos focos.
Manteniendo el hilo tenso, se dibujará la elipse, ya que todo punto P de la figura verifica que su suma de distancias a los focos es constante.
- Mesa de billar elíptica.
También entrará la bola si la lanzas desde otro sitio pero la haces pasar por el foco “F”.
En una elipse, las líneas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva forman con ella ángulos iguales. Luego si la bola viene por una de esas líneas, después de “reflejarse” en la curva seguirá por la otra línea y, por tanto, pasará por el otro foco. Ahí hemos puesto el agujero.
2.3.4 La hipérbola.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 yF2), es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).
- Obtención en un cono.
- La lámpara hiperbólica.
2.3.5 La parábola.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
- Obtención en un cono.
- La antena parabólica.
- El horno solar.
- El espejo parabólico.
3. El movimiento en el plano.
3.1 Las translaciones ¿Qué es un vector?
Segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.
3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:
a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo
c) las componentes de los vectores anteriores
d) el módulo de cada uno de los vectores
3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):
3.4 Simetría. Ejercicios
3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:
a) dibujar el triángulo
b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)
c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX
3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.
3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.
Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.
3.4.4 Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase.
3.5 Mosaicos.
Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
En Roma fue empleado el mosaico, especialmente en muros y pavimentos, creando en su forma más creativa o perfeccionada, escenas con figuras de la vida cotidiana o históricas o mitológicas: eran los “opus tesellatum”, que se hacían insertando en materiales blandos trocitos de piedras coloreadas.
3.6 MC. Escher.
MC. Escher fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xilográficos, sus grabados al mezzotinto y sus dibujos, que consisten en figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
Su obra experimenta con diversos métodos de representar espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
Sus más populares obras, figuras imposibles, fondos reticulados con diversos patrones y mundos imaginarios han sido reproducidas hasta la saciedad en portadas de libros, revistas, campañas publicitarias y en todo tipo de formatos.
Dado que sus obras guardan ciertas similitudes entre sí debido a la recurrencia de los temas tratados (las figuras imposibles, las metamorfosis) son fácilmente «reconocibles» para el observador interesado, que a veces acaba descubriendo al artista tras haberse encontrado previamente con gran parte de su obra.
4.Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas.
5. La esfera y el globo terráqueo.
5.1 Elementos principales de la esfera.
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre.
Polos: los puntos de corte de la esfera terrestre con su eje de giro (eje terrestre). Se llaman Polo Norte y Polo Sur.
Ecuador: la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie terrestre por un plano perpendicular al eje terrestre en su punto medio.
Paralelos: las circunferencias paralelas al Ecuador.
Meridianos: las circunferencias que se obtienen al cortar la superficie terrestre con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por los polos.
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.
5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre.
Aquí os dejaré un vídeo con la explicación de como resolver un problema con este método.
